[픽스의 확산 법칙 유도 증명] fick's law_신소재공학, 고체 확산, 금속 재료
신소재공학 개론, 금속재료, 고체 확산론 같은 신소재공학과 과목들에서 나오는 픽스의 1, 2 법칙에 대해서 설명 드리겠습니다. 신소재공학에서는 확산은 재료 내부의 solute 농도 차이에 의한 확산을 주로 다루고 있습니다.
따라서, 확산에 대한 설명이 재료 내부에 입자의 농도 확산을 기준으로 설명 할 것입니다.
자세한 설명 전에 두 법칙에 대해서 간단하게 정리해 보고 넘어가도록 하겠습니다.
픽스의 1, 2법칙은 서로 차원이 다르다고 이라고 할 수 있습니다.
간단하게 말하면
1법칙은 농도의 기울기가 존재할때 기울기가 일정하며 거리, 농도 2가지 변수에 대해 정리한 확산식입니다.
2법칙은 농도의 기울기가 일정하지 않으며 시간, 거리, 농도 3가지 변수에 대한 확장된 확산 식입니다.
따라서, 1법칙은 2차원 식 / 2법칙은 3차원 식 이라고 생각 하시면 됩니다.
아래 Fig. 1에 간단하게 그림으로 나타내었습니다.
농도의 기울기가 일정한 상태를 정상상태, 일정하지 않은 것을 전이 상태 (비정상 상태)라고 합니다.
* 픽스의 1법칙
정의: 재료 내부에 원소의 농도 기울기가 존재 할 때 이동하는 원소의 양 (J, flux)는 농도의 기울기에 비례한다.
재료의 내부에서 원소 혹은 입자의 농도 차이가 존재 할때 일정한 속도로 움직여 재료 전체의 농도 차이를 없애고자 하는 것입니다.
Fig. 2를 보면서 조금 더 간단하게 설명해 보겠습니다.
재료 내부에 농도가 80 (왼쪽)이 있고 20 (오른쪽)으로 존재하는 영역이 존재한다면
결국에 최종 적으로 양쪽 다 농도 50을 유지하기 위하여 왼쪽에서 우측으로 입자들이 확산 이동하게 됩니다.
1법칙은 이때 원소들이 농도 차이에 따른 일정한 기울기 (속도)를 유지한다고 가정한 확산 식입니다.
픽스의 1 법칙 수식
J는 물질의 흐름의 양 flux [g/(cm^2*s)]
D는 재료의 확산 계수 [cm^2/s]
c는 확산하는 입자의 농도 [g/cm^3]
확산계수 D는 1법칙에서는 재료의 특성 상수로 쓰입니다.
(확산계수는 사실은 상수 값이아닙니다. 1법칙에서는 상수로 사용, 추후 포스팅에서 자세하게 설명 계획)
결국 재료의 결정 구조, 조직, 조직 사이즈등의 재료적 특성으로 입자들이 움직일 수 있는 재료적 특성
* 결론적으로 픽스의 1법칙은 재료내부의 농도 차이 dc/dx의 기울기를 구하고 재료의 확산 계수를 곱한 식입니다.
다시 정리하면 1법칙은 재료 내부에 농도 차이가 존재한다면 그 농도 차이의 기울기가 입자들이 평형을 위해 움직이는 흐름의 양과 비례한다 라고 생각하시면 됩니다.
*픽스의 2법칙
앞서 설명한대로 시간, 거리, 농도 3가지를 통해 정의 하는 확산 식으로 1법칙에 비해 조금 더 확장한 개념의 확산 식입니다.
2법칙은 전이 상태 또는 비정상 상태로 부릅니다.
픽스 2법칙을 설명과 함께 유도 하도록 하겠습니다.
Fig. 3 에서 보면 어느 부피 △V 가 존재 할때
Q(in) 부피 내부로 들어가는 입자의 양, Q(out) 부피 밖으로 나오는 입자의 양이 존재 한다고 가정하자.
하지만, Q(in)과 Q(out)이 같은 값인지 다른 값인지 알 수 없다.
100 만큼 들어오고 50 만큼 나간다면 부피가 팽창 할 것이고
100 만큼 들어오고 110 만큼 나간다면 부피가 수축할 것이다 따라서 부피를 △V로 가정 한다.
△V를 기준으로 생각 하였을때,
△V는 시간에 흐름에 따라 팽창 혹은 수축을 하게 될것이다.
아래 식을 확인해 보자
좌항에는 △V 내부에서 시간에 따른 농도 값을 표시 하였다.
좌항의 △V는 곱하는 값이 아닌 ( )△V 내부의 현상을 나타낸것으로 좌항은 dc/dt 이다.
△V 내부의 농도 값은 우항과 같은데
△V 내부로 들어온양-나가는양의 차이를 계산한 것이다. 이것도한 위와 마찬가지로
100만큼 들어오고 50 만큼 나갔다면 50이 남는다 이는 50/△V 로
100만큼 들어오고 110 만큼 나갔다면 -10/△V로 표시 할 수 있다.
다음으로는 Q를 더 나누어 보도록 하겠습니다.
방금전 같이 △V로 확산되는 개념을 3차원 그림을 통하여 다시 확인 하고 추가로 증명을 진행하겠습니다.
△V가 노랑색으로 표시한 3차원 영역이라고 할때 확산이 이루어지는 단면적 A와 거리 △X가
△V가 될것입니다.
확산의 흐름 (flux) J가 3차원 형상에서는 단면적 A에 확산되는 값이 되어
A*J 값이 = Q이 되는 것입니다.
따라서 아래와 같이 추가로 수식을 정리 할 수 있습니다.
좌항은 그대로 유지한 채로 우항의 A를 제외 시키고 아래와 같이 정리를 할 수 있습니다.
J는 flux로 픽스의 1법칙입니다. 이를 추가로 정리하면 아래와 같습니다.
따라서, 픽스의 제 2법칙의 최종 식은 아래와 같습니다.
* 결론적으로 픽스의 2법칙은 특정 부피 안에 들어오는 입자와 나오는 입자의 양이 다를때 (1법칙과 다르게 농도 기울기가 일정하지 않을때=비정상 상태일때)의 확산 식을 시간, 거리, 농도에 따라 정의 할 수 있다.
이렇게 픽스의 1 법칙, 2법칙에 대해서 신소재공학과에서 다루는 정도에서의 내용으로 설명해 보았습니다.
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